Последнее время меня занимают вопросы вероятности, не(пред-)определенности, причинно-следственной связи и т.п. в нашей жизни. Вчера целый вечер ломал голову над вопросом, почему при подбрасывании монеты вероятность выпадения орла или решки равна 1/2 (параллельно, правда, занимался в тренажерном зале). Этот пост - попытка упорядочить мысли.
С самого детства нас учат, что результат бросания монеты - это чисто случайное событие и с одинаковой вероятностью может выпасть как орел, так и решка. В дальнейшем в школе/институте нас обучают основам теории вероятности и первый пример случайного события, который приводят - это резульат подбрасывания монеты. Далее делается утверждение, что при многократном подбрасывании монеты мы примерно в половине случаев получим орла (или решку), и чем больше количество подбрасываний, тем ближе будет соотношение орлов и решек к 1/2. А объясняют это тем, что вероятность получить орла или решку при одиночном подбрасывании равна 1/2. На самом деле в этом месте мы получаем замкнутый круг из объяснений: в половине случаев мы получаем орлов (результат), потому что в половине случаев мы получаем орлов (вероятность). Конечно же такое объяснение ничего не объясняет, а лишь дает иллюзию понимания ленивому уму. Вероятность получиль орла или решку в 1/2 - это просто эмпирически установленный факт.
Почему же на самом деле это значение равно 1/2? Рассмотрим процесс бросания монеты в деталях и выясним, чем определяется исход подбрасывания. Когда мы подбрасываем монету, мы придаем ей определенную линейную (v) и угловую (w) скорость. Абстрагируясь от неоднородностей воздушной среды, линейная скорость определяет сколько времени монета пробудет в воздухе, а угловая - на какой угол она повернется за это время. Ребро монеты ответственно за дискретный результат броска (О или Р), если бы монета была шаром, то, скорее всего, он мог бы приземляться на любую точку своей поверхности. В случае монеты, если в момент соприкосновения с поверхностью она наклонена на любой угол в одну или другую сторону мы получаем орла или решку. Думаю, что если бы мы бросали монету в пластилин, то помимо орла или решки периодически получали бы еще и ребро.
Достаточно легко вывести, что угол падения монеты определяется уравнением α = α0 + 2vw/g, где α0 - начальный угол, g - ускорение свободного падения. Довольно легко представить, что исход эксперимента определяется функцией α(t), которая имеет синусоидальную форму, где по оси Y откладывается улог поворота монеты, а по оси X - время полета. Если в момент приземления F > 0 - получаем одну сторону, пусть, орла, тогда при F <>Откуда же появляется случайность? Очевидно, она определяется тем, что мы при подбрасывании не в состоянии точно контролировать скорость, как линейную, так и угловую, и малейшие изменения в начальных параметрах приводят к случайным результатам. На рисунке ниже изображена карта значений функции f(x,y) = sin (x * y), упрощая - это и есть функция, описывающая результат подбрасывания монеты (здесь этот график можно посмотреть/повертеть в 3D):
При пропадании значния в красную зону - выпадает одна сторона, в синюю - другая. Честно говоря, я такой картинки не ожидал. Из нее следует, что существуют зоны, в которых небольшие изменения в начальных параметрах влияют на результат гораздо меньше, чем в других областях. Другое дело, что в случае с монетой это происходит при скоростях 150 м/с и 150 рад/с, человек так бросить монету не сможет. На этом месте беру тайм аут, чтобы осмыслить полученные результаты. Может быть, где-то выше ошибка?
